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基金定投“年收益率”的计算

基金定投“年收益率”的计算

2017-10-24 10:19

  张先生做基金定投十年,每月投入资金一千元(基金设为红利再投资),十年累计投资12万元。十年后赎回,实际市值为24万元。请问张先生投资的平均年收益率是多少?

  这个问题貌似简单。不过我估计几乎没有人能对这个问题或类似的问题简单通过“心算”得到答案,因为这里面包含“每个月”的投资和“每个月”投资的“复利效应”。仔细思考后您就会发现,它其实是一个非常复杂的函数。

  那么是不是这么计算?因为一共投资了十年,也就是说第一笔钱投资了120个月,第二笔钱投资了119 个月..............最后一笔钱投资了0个月。所以平均下来,相当于所有的钱投资了60个月(五年)。所以年平均收益率是100%除以5年,结果是每年20%。

  为什么呢?因为市场的“复利效应”是指数增长,而且是“每月”都应该计算利润;上述计算方法只是“算术平均”,当然得不到正确的结果。看一下就知道,每个月的投资在下个月都产生“复利”,在这种算法中并没有被包括进去。

  假设定期投资中的“月平均收益率”是x;那么年平均收益率是(1+x)^12-1;也就是一年12个月,每月产生复利(生12次)后,扣除成本。

  因为定投中是“每月”进行投资的,所以最精确的算法要精确到“月平均收益率”,然后通过“月平均收益率”换算得到“年平均收益率”。

  倒数第三个月投资的钱在赎回时市值是:a*(1+x)^2 (经过两个月的“复利效应”)

  倒数第四个月投资的钱在赎回时市值是:a* (1+x)^3 (经过三个月的“复利效应”)

  在赎回时,张先生得到的总金额是以上所有月份投资的钱,在赎回时的市值的总和:

  学过“等比级数”的人知道(高中数学知识),上述右侧其实是一个“等比级数”。这里分两种情形讨论:

  (1)如果 A=a*n;这种情况下就是投资的收益为零,自然收益率也为零;因为非常简单,就不详细说了。(之所以仍然要提到这种情况,是从理论“解方程”的角度出发,是必须要考虑这种情形的,否则程序会出错。)

  解上述“一元n次方程”,得到的解(x的值),就是“月平均收益率”,然后通过“月平均收益率”用“(1+x)^12-1”,可以换算得到“年平均收益率”。

  需要说明的是,上述“一元n次方程”并不是“手到擒来”可以解的;比方说投资十年,n的值是120,对一个“一元120次方程”,想得到一个简单的解析答案,即使是最好的数学家也没有多少办法。

  感谢现在的计算机技术和编写程序手段,使得我们对上述方程能很方便得到一个数值解。

  对于举例中的张先生的情形,解得的结果是,张先生这十年定投里,获得的“月平均收益率”是1.06%,对应的“年平均收益率”是13.48%。

  如果是简单将10年定投折算成“所有的钱平均投资5年”,仍考虑复利,得到的“年平均收益率”是: 2^(1/5) - 1=14.87%。这个结果虽然略有高估,但与正确答案已经相去不远了。

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